久しぶりにコチラに質問が。僕自身が忘れていたので回答が遅くなってすみません。
1.The older he got, the more he became famous.の間違いを指摘せよ。
高校でよく習う「The 比較級A, the 比較級B」で「AすればするほどB」というものです。問題は「比較級」をSVに倒置させるときに、more famousのように
ひとまとまりになっているものはセットで動かさないといけないということですね。後ろの節でmoreはmanyの比較級ではなく、famousを比較級にするために使われているので、more famousをバラバラにしてしまうことはできません。したがって、正しい答えは
The older he got, the more famous he became.
ではないかと思います。
2.No other girl in this class sings as good as Jane.
=Jane sings (best)(of)all the girls in this class.
このときthe bestとする必要はないのか。
最初に、質問とは関係ありませんがas good asではなく、as well asではないでしょうか?原級比較は「as 〜 as OO」を取り払ったときに受容可能文になるはずなので、
No one in this class sings
well.
かと思います。
さて質問の本題ですが、
a.必ずtheをつける場合には形容詞が限定的に用いられ、比較級となった形容詞は名詞を修飾します。
b.theが省略可能な場合は形容詞が叙述的に用いられるとき(つまり名詞を伴わないとき)です。「省略可能」ですから、theをつけてもよいのですが、特に主語のある一部分を他の部分と比較したり、ある時の状態を別の時の状態と比較したりするときはtheを省く傾向があります。
具体的にご質問の文を例にとると、
Jane sings best of all the girls in this class.(叙述的)
Jane is
the best
singer of all the girls in this class.(限定的)
原則的にはこんな感じですが、これは規範文法上の話ですから、実際には割りとメチャクチャになっている気がします^^;

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